自然常数e的意义

全栈程序员-站长 • 2025年11月27日下午12:15 • 未分类 • 阅读 5

出处：http://www.fengchang.cc/post/104

这两天看黎曼猜想的新闻刷屏，虽然这个猜想还未得到证明，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。反复见之于是想了解一下，不过了解之前顺便先看下相关的这个自然对数。

中学数学都知道e是一个常量，无理数，重要性不亚于圆周率，值约等于2.71828。但是这完全不能算是一个定义，也完全摸不清头脑这个数从何而来。

不过现在如果稍微搜一下就可以知道这个数的数学定义式：

e为下式在n趋向于无穷大的极限： (1 + 1/n)n

到这里，数学定义出来了，但一个数学常量之所以重要，一定是它的应用范围非常广，那么光看这个式子，还不足以知道为什么它的应用范围广。

不过这里可以先给一个符合直觉的，假设的一个应用场景。

假设你往银行存了1块钱，银行按年记利息，利率100%，那么一年后，本息和一共翻了多少倍？这个很简单，答案是2倍，因为利息1块加本金1块，就是2块，比上原来的1块就是2倍（好多余的推理，不过不急，看后面）。

现在假设银行比较勤快，不是一年计息一次，而是半年计息一次，那么一年后本息和是多少倍？首先半年这个时间点本息和为1+1*100%，也就是2块钱，一年这个时间点，前面的两块钱会产生复利，就相当于2+2*100%，就是4块钱，所以半年计息一次就变成了4倍！是不是发现自己赚大了？

不过银行当然不是傻的，凭啥我缩短成半年计息一次利率不变呢？好，假设现在银行变聪明了，改成半年计息一次后，利率也相应调低，调低的规则是计息期缩短多少倍，利率就缩小多少倍。也就是说，计息变成半年后，利率缩减至50%。这种情况下一年后的收益增长是是多少倍呢？简单按照复利公式就知道是(1+50%)^2=2.25倍，虽然没有4倍那么多，但是好歹比2倍还是要好对吧？

那么再继续往下做一个推演，现在假设再把计息期缩短一点，变成三分之一年(4个月)计息一次，利率相应缩减为33.33333…%,这种情况一年后的增长倍数是？继续套用复利公式：(1+33….%)^3=2.

怎么样，发现比2.25倍又赚更多了一点？

好了，事不过三，我就不往下做推演了，有兴趣可以自己推演计息期变成1/4年，1/5年，1/6年的情况，记得利率也做相应调整。

不过我用Python画了个图，表示从一年一期到1/1000年一期计息的赚钱倍数的规律如图：

自然常数e的意义

源代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

import math

def natural(n):

return math.pow(1+1/n, n)

t = range(1,1000)

plt.plot(t, [natural(v) for v in t])

plt.show()

可以看出的结论是，随着计息期切分得越短，你的资产增长倍数会越来越大。但是并不会无限大，而是趋于收敛（往后走线条几乎就停滞了）。这个收敛的值就是2.9…无限长，也就是自然常数e. 所以按照以上的计息期的控制方法，银行就算把计息期缩减到无限短，到年底你也最多能得到e倍的原始本金，这就到顶了，不会再多了。

这就是一个最直观的自然常数的理解。虽然不像圆周率那样周长比直径那么直观，但其重要性却不亚于圆周率。然而正是因为这个不直观，所以这个概念的提出比圆周率要晚得多得多。下面是查询到的历史：

第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

总结来说就是十七世纪有人提出相近的东西，然后过了一百多年才正式有人定义并运用这个常数。相比圆周率，中国在东汉时期（公元三世纪）就已经有比较精确的计算了。所以可见其“不直观”的程度。

不过发现晚不影响其应用广，至于怎么应用，对数表的绘制是一个应用之一，也是e其重要起源之处。相信牛顿那批人在做计算的时候经常碰到这个极限值，所以逼不得已提出了这个常数，我就不展开说了。总之可以理解为在某种规则下（比如上面银行设定的那种计息期和利率的规则下）的增长率极限，而这种增长规则在宇宙中非常常见，普遍，因而非常重要。

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