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1. 高斯模型与高维高斯模型介绍

高斯模型也就是正态分布模型，该模型最早可见于我们的高中数学教材中。闻其名知其意，正态分布是自然界中普遍存在的一种分布。比如，考试成绩，人的智力水平等等。都是大致呈现为正态分布。其概率密度函数为

什么是GMM算法_bs模型公式

其中参数为μ,σ2 ，都是一维标量。

对于高维高斯模型，与一维类似，只是自变量变成了多维，是一个向量。其概率密度函数为

什么是GMM算法_bs模型公式

其中参数为μ,Σ , μ是向量，Σ是协方差矩阵，是个对称阵。

2. 高斯混合模型

高斯混合模型简单的说就是多个高斯模型的叠加。比如在某一个班级中，将男生和女生分成两个高斯模型来分别表示男生和女生的身高，将这个两个模型叠加到一起就是整个班级的高斯混合模型。然后此时，班上突然新来了一位同学，但是不知道ta是男生还是女生。这时首先就要对ta性别进行估计，假设有0.6的概率是男生，那么就是0.4的概率为女生。那么，对该同学的身高估计=0.6 $\times$ 班上男生(其中一个高斯分布)身高期望+0.4 $\times$ 班上女生(其中另一个高斯分布)身高期望。对于这个0.6是我们随意假设的，但是在大多数实际情况中，我们是不能直接得到其具体值的，也就是所谓的隐变量(latent variable)。而人的身高，是我们可以观察到的样本，也就是可观察变量(observed variable)。

下面用具体符号来说明。假设一共有K个高斯分布，获得每一个高斯分布的概率为 $\alpha_k$ ，那么高斯混合分布模型如下

什么是GMM算法_bs模型公式

现在我们已知的是很多可观察样本(也就是一群人的身高，但是不知道性别)，我们要来估计 $\alpha_k,\mu_k,\Sigma _k$ (也就是来估计属于男生和女生概率，男生高斯分布的两个参数和女生高斯分布的两个参数)。

我们用极大似然估计来估计模型参数，似然函数为

什么是GMM算法_bs模型公式

其中，一共有m个样本，什么是GMM算法_bs模型公式表示第j个样本。我们的目标是求似然函数LL最大时的参数，一般情况下在这里直接对似然函数对参数求偏导即可。但是由于这里log里是一个求和式子，使得求导不能直接算出对应的参数取值。我们需要使用下面的方法来求解参数。

3. EM算法来估计高斯混合模型的参数

EM算法的大致流程是这样的，先随机初始化原模型参数，由于不能通过求导算出对应的解析解，所以我们先得到某个LL函数的下界函数H，使得LL>=H，然后通过对相应变量求偏导算出使得H最大的相应参数值，将模型的参数更新为新求得的参数。此时模型参数改变，LL函数也改变，LL的下界H也需要改变，从新计算H函数后，又求导算出使得新的H最大的对应的参数值，又将参数更新，继续上述过程，直到收敛。

根据初始化的模型参数，我们可以根据贝叶斯公式求得第j个样本什么是GMM算法_bs模型公式是来自第k个高斯分布产生的后验概率

什么是GMM算法_bs模型公式

根据初始化参数算出的什么是GMM算法_bs模型公式是已知的概率值，没有任何参数。根据上式可得 $\sum_{k=1}^{K}\gamma_{jk}=1$

然后我们对LL函数作如下推导

$LL=\sum_{j=1}^{m}log(\sum_{k=1}^{K}\alpha_kp(x^{(j)};\mu_k,\Sigma _k))\\=\sum_{j=1}^{m}log(\sum_{k=1}^{K}\gamma_{jk}\frac{\alpha_kp(x^{(j)};\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{jk}})\\ \geqslant \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{K}\gamma_{jk}log(\frac{\alpha_kp(x^{(j)};\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{jk}})$ 由于log函数是上凸函数，根据Jensen不等式可以求出其下界。这里log函数里是一些项的乘积形式，求导求解比较方便。我们令 $H=\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{K}\gamma_{jk}log(\frac{\alpha_kp(x^{(j)};\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{jk}})$ ,然后分别对 $\alpha_k,\mu_k,\Sigma _k$ 求导，并令结果为0，分别解出 $\alpha_k,\mu_k,\Sigma _k$ 的相应的值。（PS. 在H函数中只有 $\alpha_k,\mu_k,\Sigma _k$ 是变量，其余都已知）。其中特别一点的是，求 $\alpha_k$ 时，由于 $\alpha_k$ 是有限制的， $\sum_{k=1}^{K}\alpha_k=1$ ,需要使用拉格朗日乘数法来计算。这里直接给出求解结果，具体求解步骤见附录。

什么是GMM算法_bs模型公式

总结一下，完整的算法过程如下

什么是GMM算法_bs模型公式

4 代码

def Expectation(data, mu, sigma, alpha, K):
    """
    EM算法的E步
    :param data:数据集
    :param mu:均值向量
    :param sigma:协方差矩阵
    :param alpha:混合系数
    :return:各混合成分生成的后验概率gamma
    """
    m = data.shape[0]    #m为样本数量

    #初始化后验概率矩阵gamma
    gamma = np.zeros((m, K))

    #计算各模型中所有样本出现的概率，行对应样本，列对应模型
    prob = np.zeros((m, K))
    for k in range(K):
        prob[:, k] = alpha[k] * mul_normal(data, mu[k], sigma[k])

    gamma = prob / np.sum(prob, axis=1, keepdims=True)

    return gamma
def Maximization(data, gamma, K):
    """
    更新模型参数
    :param data:数据集 
    :param gamma:各混合成分生成的后验概率 
    :return:更新后的模型参数 
    """
    m, n = data.shape    #m为样本数，n为特征数

    #初始化高斯混合分布的模型参数值，因为要更新它们
    mu = np.zeros((K, n))
    sigma = []
    
    mk = np.sum(gamma, axis=0)
    #更新每个高斯混合成分的模型参数
    for k in range(K):
        #更新mu
        mu[k, :] = gamma[:, k].reshape(1, m) * data / mk[k]
        #更新sigma
        sigma_k = (data - mu[k]).T * np.multiply((data - mu[k]), gamma[:, k].reshape(m, 1)) / mk[k]
        sigma.append(sigma_k)
    #更新alpha
    alpha = mk / m
    sigma = np.array(sigma)    #为了保持一致，还需将sigma转回array
    
    return mu, sigma, alpha
def GMM_EM(data, K, iterations):
    """
    高斯混合聚类算法
    :param data:数据集 
    :param K:簇数量 
    :param iterations:迭代次数 
    :return: 
    """
    mu, sigma, alpha = init_parameters(data, K)
    for i in range(iterations):
        gamma = Expectation(data, mu, sigma, alpha, K)
        mu, sigma, alpha = Maximization(data, gamma, K)
    
    #用最终的模型参数来计算所有样本对于各混合成分的后验概率，以此作为最终簇划分的依据
    gamma = Expectation(data, mu, sigma, alpha, K)
    print('mu',mu)
    return gamma

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