贝塔分布是关于连续变量 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0, 1] x∈[0,1]的概率分布，它由两个参数 a > 0 a>0 a>0和 b > 0 b>0 b>0确定：
B e t a ( x ∣ a , b ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) μ a − 1 ( 1 − μ ) b − 1 = 1 B ( a , b ) μ a − 1 ( 1 − μ ) b − 1 Beta(x|a, b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}=\frac{1}{B(a, b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} Beta(x∣a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)μa−1(1−μ)b−1=B(a,b)1μa−1(1−μ)b−1
其中， Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)为Gamma函数：
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt
B ( a , b ) B(a, b) B(a,b)为Beta函数：
B ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) B(a, b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
贝塔分布有如下性质：
- E [ x ] = a a + b E[x]=\frac{a}{a+b} E[x]=a+ba
- V a r ( x ) = a b ( a + b ) 2 ( a + b + 1 ) Var(x)=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)} Var(x)=(a+b)2(a+b+1)ab
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